Matemática

Limites laterais

Postado por Ismael Alexandre | Marcadores: Limites, Limites laterais

Definição

Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda é igual a L, se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, tornando x suficientemente próximo de a e x menor do que a, e escrevemos:

$\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=L$

Analogamente, definimos o limite de f(x) quando x tende a a pela direita e escrevemos:

$\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=L$

Da definição geral de limite, concluímos que:

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=L$

Ou seja, o limite de uma função dada existe, em um ponto dado, quando existirem os limites

laterais (no ponto dado) pela direita e pela esquerda, e os mesmos forem iguais.

Vejamos alguns exemplos:

$h(x)=\begin{cases} 4-x^{2} & \text{ se } x\leq 1 \\ 2+x^{2} & \text{ se } x>1 \end{cases}$

Solução:

Começaremos calculando o limite lateral pela direita de 1.

${\color{Red} \lim_{x\rightarrow 1^{+}}2+x^{2}=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}2+\lim_{x\rightarrow 1^{+}}x^{2}=2+1=3}$

Agora calcularemos o limite lateral pela esquerda de 1.

${\color{Red} \lim_{x\rightarrow 1^{-}}4-x^{2}=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}4-\lim_{x\rightarrow 1^{-}}x^{2}=4-1=3}$

Note que

$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=3$

Então, pela definição, podemos dizer que

$\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=3$

$f(x)=\begin{cases} x & \text{ se } x\leq 10 \\ 0,9x & \text{ se } x> 10 \end{cases}$

Solução:

Do mesmo modo que no exemplo anterior, acharemos os limites laterais.

${\color{Red} \lim_{x\rightarrow 10^{+}}0,9x=0,9\cdot 10=9}$

${\color{Red} \lim_{x\rightarrow 10^{-}}x=10}$

Note que

$\lim_{x\rightarrow 10^{+}}f(x)\neq \lim_{x\rightarrow 10^{-}}f(x)$

Então, pela definição, podemos dizer que o limite não existe.

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Definição Geral de Limites

Postado por Ismael Alexandre | Marcadores: Definição Geral de Limite, Limites

1. LIMITES

1.1. Definição Geral

Se os valores de f(x) puderem ser tão próximos quanto quisermos de L, fazendo x suficientemente
próximo de A (mas não igual a A), então escrevemos:

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$

O que deve ser lido como “o limite de f(x) quando x tende a a é L”.
De outra forma, isso significa que os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos do número L à medida que x tende ao número a.

Exemplos:

$1)\lim_{x\rightarrow 2}2x-1=3$

Neste exemplo, 3 é o limite da função f(x)=2x-1 quando x tende a 2.

$2)\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+2x-8}{x-2}=6$

O limite da função $f(x)=\frac{x^{2}+2x-8}{x-2}$ quando x tende a 2 é 6.

Resolvendo passo a passo os exemplos:

$1)\lim_{x\rightarrow 2}2x-1=3$

Neste exemplo, como não há indeterminação, basta atribuir para x o valor 2.

${\color{Red}\lim_{x\rightarrow 2}2x-1=\lim_{x\rightarrow 2}2x-\lim_{x\rightarrow 2}1=4-1=3}$

$2)\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+2x-8}{x-2}=6$

Já neste exemplo, teremos que simplificar a função, pois ao tomar para x o valor 2, causará indeterminação.

${\color{Red} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+2x-8}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x+4)\cdot (x-2)}{x-2}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 2}x+4=}$

Agora que a função já está simplificada, aplicaremos o limite na função.

${\color{Red} \lim_{x\rightarrow 2}x+4=\lim_{x\rightarrow 2}x+\lim_{x\rightarrow 2}4=2+4=6}$

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