Limites laterais

Postado por Ismael Alexandre | Marcadores: Limites, Limites laterais

Definição

Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda é igual a L, se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, tornando x suficientemente próximo de a e x menor do que a, e escrevemos:

$\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=L$

Analogamente, definimos o limite de f(x) quando x tende a a pela direita e escrevemos:

$\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=L$

Da definição geral de limite, concluímos que:

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=L$

Ou seja, o limite de uma função dada existe, em um ponto dado, quando existirem os limites

laterais (no ponto dado) pela direita e pela esquerda, e os mesmos forem iguais.

Vejamos alguns exemplos:

$h(x)=\begin{cases} 4-x^{2} & \text{ se } x\leq 1 \\ 2+x^{2} & \text{ se } x>1 \end{cases}$

Solução:

Começaremos calculando o limite lateral pela direita de 1.

${\color{Red} \lim_{x\rightarrow 1^{+}}2+x^{2}=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}2+\lim_{x\rightarrow 1^{+}}x^{2}=2+1=3}$

Agora calcularemos o limite lateral pela esquerda de 1.

${\color{Red} \lim_{x\rightarrow 1^{-}}4-x^{2}=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}4-\lim_{x\rightarrow 1^{-}}x^{2}=4-1=3}$

Note que

$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=3$

Então, pela definição, podemos dizer que

$\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=3$

$f(x)=\begin{cases} x & \text{ se } x\leq 10 \\ 0,9x & \text{ se } x> 10 \end{cases}$

Solução:

Do mesmo modo que no exemplo anterior, acharemos os limites laterais.

${\color{Red} \lim_{x\rightarrow 10^{+}}0,9x=0,9\cdot 10=9}$

${\color{Red} \lim_{x\rightarrow 10^{-}}x=10}$

Note que

$\lim_{x\rightarrow 10^{+}}f(x)\neq \lim_{x\rightarrow 10^{-}}f(x)$

Então, pela definição, podemos dizer que o limite não existe.

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