Matemática

Transformação de unidades

Postado por Ismael Alexandre | Marcadores: Medidas de volume

Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Observe a seguinte transformação:

transformar 2,45 m³ para dm³.

km³

hm³

dam³

m³

dm³

cm³

mm³

Para transformar m³ em dm³ (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000.

2,45 x 1.000 = 2.450 dm³

Pratique! Tente resolver esses exercícios:

1) Transforme 8,132 km³ em hm³ (R: 8.132 hm³)

2) Transforme 180 hm³ em km³ (R: 0,18 km³)

3) Transforme 1 dm³ em dam³ (R: 0,000001 dam³)

4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão:

3.540dm³ + 340.000cm³(R:3,88 m³)

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Zero de uma função

Postado por Ismael Alexandre | Marcadores: Funções

Denomina-se zero de uma função todo valor de

$x\in D|f(x)=0$

Os zeros de uma função são as abscissas dos pontos em que seu gráfico cruza com o eixo Ox. Por exemplo:

$\left.\begin{matrix} f(x_{1})=0 & \\ f(x_{2})=0 & \\ f(x_{3})=0 & \end{matrix}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow x_{1},\: x_{2}\: e\: x_{3}$ são os zeros da função ou, também podemos dizer, as raízes da equação

f(x) = 0.

Para calcular os zeros, deve-se igualar a função a zero e resolver a equação obtida.

Exemplos:

$a)\, f(x)=5x+1$

Resolução:

${\color{Red} \begin{matrix} 5x+1=0 & \\ 5x=-1 & \\ x=-\frac{1}{5} & \end{matrix}}$

Gráfico da função f(x) = 5x+1:

$b)\, f(x)=x^2-4$

Resolução:

${\color{Red} \begin{matrix} x^2-4=0 & \\ & \\ =\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}& \\ & \\ =\frac{0\pm \sqrt{0-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2\cdot 1}& \\ & \\ =\frac{0\pm \sqrt{16}}{2}& \\ & \\ =\frac{0\pm 4}{2}\Rightarrow x^{'}=2\: e\: x^{''}=-2 & \\ & \end{matrix}}$

Gráfico da função:

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Gráfico de uma função

Postado por Ismael Alexandre | Marcadores: Funções

O gráfico de uma função ƒ: A→B é o subconjunto G do produto cartesiano A x B formado por todos os pares ordenados (x,y), em que x é um ponto qualquer de A e y = f(x) pertence a B.

$G=\left \{ \left ( x,y \right )\in AxB|y=f(x) \right \}$

Para obtermos gráficos de funções definidas por leis y = f(x), podemos construir uma tabela a partir de alguns valores x do domínio, obtendo y. A cada par (x,y) associamos um ponto no plano cartesiano. O conjunto de todos os pontos (x,y) será o gráfico de f(x). O domínio será representado no eixo x e o contradomínio, no eixo y.

Representação do ponto P
no plano cartesiano

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O conceito de função

Postado por Ismael Alexandre | Marcadores: Funções

O que é um produto cartesiano de dois conjuntos?

Produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos pares ordenados (x, y) tais que x h A e y h B

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O que é o diagrama de flechas de um produto cartesiano?

Diagrama de flechas de um produto cartesiano é um diagrama que mostra a formação dos pares ordenados que formam o produto.

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O que é o gráfico cartesiano de um produto cartesiano?

Gráfico cartesiano de um produto cartesiano é o gráfico formado por dois eixos coordenados onde estão representados por pontos os elementos do produto.

O gráfico da figura representa o produto cartesiano A x B = {(a; d) (b; e) (c; e)}

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O que se entende por uma relação entre dois conjuntos?

Relação R entre os conjuntos A e B é um conjunto formado por todos os pares ordenados do produto cartesiano entre A e B que obedeçam a uma determinada condição.

Exemplo:

Sejam os conjuntos A = {2, 3, 7} e B = {1, 4, 5}

Vamos determinar a relação R tal que x < y ou seja R = {(x, y) hA x B | x < y}
R = {(2, 4).(2, 5).(3, 4).(3,5)}

IMPORTANTE:

O conjunto R é um subconjunto de A x B >>>> R d A x B

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O que é domínio de uma relação entre dois conjuntos?

Domínio de uma relação R, representado por D(R) é o conjunto dos primeiros elementos dos pares pertencentes a R.

Exemplo:

Se R = {(2, 4).(2, 5).(3, 4).(3,5)} então D(R) = {2, 3}.

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O que é imagem de uma relação entre dois conjuntos?

Imagem de uma relação R, representado por Im(R) é o conjunto dos segundos elementos dos pares pertencentes a R.

Exemplo:

Se R = {(2, 4).(2, 5).(3, 4).(3,5)} então Im(R) = {4, 5}

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O que é função entre dois conjuntos?

Função f entre os conjuntos A e B é um conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y) do produto cartesiano entre A e B que obedeçam a uma determinada condição, onde x representa todos os elementos de A e a cada x corresponderá um único valor de y.

Exemplo:

Sejam os conjuntos A = {2, 3, 4} e B = {1, 3, 4, 5, 6, 8}

Vamos determinar a função f tal que y = x + 2 ou seja f = {(x, y) hA x B | y = x + 2}

f = {(2, 4).(3, 5).(4, 6)}

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Como distinguir funções de outras relações?

Funções são relações formadas por todos os pares ordenados (x, y) do produto cartesiano entre A e B que obedeçam a uma determinada condição, onde:

x representa todos os elementos de A
a cada x corresponderá um único valor de y.

Exemplos:

Não é uma função, não satisfaz a condição 1 Não é uma função, não satisfaz a condição 2

É uma função, satisfaz às condições 1 e 2. É uma função, satisfaz às condições 1 e 2.

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O que é domínio, imagem e contra domínio de uma função?

Considere umas função f de A em B

Domínio da função f, representado por D(f) é o conjunto dos primeiros elementos dos pares pertencentes a f.

Imagem da função f, representado por Im(f) é o conjunto dos segundos elementos dos pares pertencentes a f.

Contradomínio da função f, representado por CD(f) é o conjunto formado por todos os elementos de B.

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Funções

Postado por Ismael Alexandre | Marcadores: Funções

Antes de formularmos o conceito de função, é interessante que você observe que ele está presente em seu dia-a-dia. É comum encontrarmos no comércio, como em padarias e lojas que fornecem cópias, por exemplo, tabelas relacionando quantidades e os preços a serem cobrados por um determinado produto.

Quantidade de pãezinhos	Preço(R$)
1	R$ 0,25
2	R$ 0,50
3	R$ 0,75
4	R$ 1,00

Observe que na tabela acima existe uma correspondência entre a quantidade de pãezinhos e o preço. Conhecido o preço de um pãozinho, podemos calcular 10, 20, 100 ou qualquer outra quantidade de pãezinhos.

Podemos também representar esses valores no plano cartesiano.

Gráfico do preço pelo número de pãezinhos

E se quisermos saber o preço de n pãezinhos? Da mesma forma como procedemos para encontrar 10, 20 e 100 pãezinhos, multiplicamos n por 0,25.

Quantidade de pãezinhos	Preço(R$)
10	10 x 0,25 = 2,50
20	20 x 0,25 = 5,00
100	100 x 0,25 = 25,00

Indicando o preço pela letra P, temos:

P = 0,25 x n

Essa é uma fórmula que relaciona a quantidade de pãezinhos n com seu preço P. Dizemos que P, o preço, é uma função de n, do número de pãezinhos.
Podemos determinar também o número de pãezinhos a partir de um valor cobrado. Se o valor cobrado foi de R$ 12,75, quantos pãezinhos foram cobrados?

$n\cdot 0,25=12,75$

Resolvendo essa equação:

$n=\frac{12,75}{0,25}=51$

Foram comprados 51 pãezinhos.

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Produto escalar, Propriedades do produto escalar, Ângulos entre dois vetores, Vetores ortogonais

Postado por Ismael Alexandre | Marcadores: Vetores

Produto escalar

Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d), definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por:

u.v = a.c + b.d

Exemplos:

O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é:

u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14

O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é:

u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19

Propriedades do produto escalar

Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:

v.w = w.v
v.v = |v| |v| = |v|²u.(v+w) = u.v + u.w
(kv).w = v.(kw) = k(v.w)
|kv| = |k| |v|
|u.v| <= |u| |v| (desigualdade de Schwarz)
|u+v| <= |u| + |v| (desigualdade triangular)
Obs: <= significa menor ou igual

Ângulo entre dois vetores

O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma:

u.v = |u| |v| cos(x)

onde x é o ângulo formado entre u e v.

Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como:

desde que nenhum deles seja nulo.

Vetores ortogonais

Dois vetores u e v são ortogonais se:

u.v = 0

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Soma de vetores, Propriedades da soma de vetores, Diferença de vetores, Produto de um escalar por um vetor, Módulo de um vetor, Vetor unitário

Postado por Ismael Alexandre | Marcadores: Vetores

Soma de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por:

v + w = (a+c,b+d)

Propriedades da soma de vetores

I) Comutativa: Para todos os vetores u e v de R²:

   v + w = w + v

II) Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R²:

   u + (v + w) = (u + v) + w

III) Elemento neutro: Existe um vetor O=(0,0) em R² tal que para todo vetor u de R², se tem:

   O + u = u

IV) Elemento oposto: Para cada vetor v de R², existe um vetor -v em R² tal que:

   v + (-v) = O

Diferença de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:

v - w = (a-c,b-d)

Produto de um escalar por um vetor

Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v, como:

c.v = (ca,cb)

Propriedades do produto de escalar por vetor

Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores:

1 v = v
(k c) v = k (c v) = c (k v)
k v = c v implica k = c, se v for não nulo
k (v+w) = k v + k w
(k + c)v = k v + c v

Módulo de um vetor

O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:

Vetor unitário

Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.

Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R², que são dados por:

i = (1,0) j = (0,1)

Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:

Observação:

Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv onde c é um escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos.

Se c = 0 então u será o vetor nulo.
Se 0 < c < 1 então u terá comprimento menor do que v.
Se c > 1 então u terá comprimento maior do que v.
Se c < 0 então u terá sentido oposto ao de v.

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