Fatorial

Postado por Ismael Alexandre | Marcadores: Análise combinatória

Ao produto dos números naturais começando em n e decrescendo até 1 denominamos de fatorial de n e representamos por n!.

Segundo tal definição, o fatorial de 5 é representado por 5! e lê-se 5 fatorial.

5! é igual a 5 . 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 120, assim como 4! é igual a 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 24, como 3! é igual a 3 . 2 . 1 que é igual a 6 e que 2! é igual a 2 . 1 que é igual a 2.

Por definição tanto 0!, quanto 1! são iguais a 1.

Abaixo, no final da página, temos uma tabela com os 28 primeiros fatoriais. Repare que apesar do número 27 ser relativamente baixo, o seu fatorial possui 29 dígitos!

Escrevendo um fatorial a partir de um outro fatorial menor

Vimos que 5! é equivalente a 5 . 4 . 3 . 2 . 1, mas note que também podemos escrevê-lo de outras formas, em função de fatoriais menores, tais como 4!, 3! e 2!:

5! = 5 . 4!
5! = 5 . 4 . 3!
5! = 5 . 4 . 3 . 2!

Para um fatorial genérico temos:

n! = n . (n - 1)! = n . (n - 1) . (n - 2)! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1!

Observe atentamente os exemplos seguintes:

(n + 3)! = (n + 3) . (n + 2)!
(n + 3)! = (n + 3) . (n + 2) . (n + 1)!
(n + 1)! = (n + 1) . n!

Vamos atribuir a n o valor numérico 6, para termos uma visão mais clara destas sentenças:

9! = 9 . 8!
9! = 9 . 8 . 7!
7! = 7 . 6!

Estes conceitos são utilizados em muitos dos problemas envolvendo fatoriais.

Simplificação envolvendo fatoriais

Observe a fração abaixo:

Vimos que 5! é equivalente a 5! = 5 . 4 . 3!. Então podemos escrever a fração da seguinte forma:

Agora podemos simplificar o 3! do numerador com o 3! do denominador. Temos então:

Veja outros exemplos:

Gerando uma sequência de números compostos consecutivos a partir de um fatorial

Na página onde falamos sobre múltiplos de um número natural foi explicado que se a um número que é múltiplo de n, somarmos n ou qualquer um dos seus múltiplos, iremos obter como resultado um número que também é múltiplo de n.

3! + 2 = 3 . 2 . 1 + 2 = 6 + 2 = 8

3! + 3 = 3 . 2 . 1 + 3 = 6 + 3 = 9

Repare que 8, resultado da soma de 6 com 2, é divisível por 2, assim como 6. O mesmo ocorrendo com 9, resultado da soma de 6 com 3, que também é divisível por 3.

Como 8 e 9 são múltiplos de algum fator de 3!, temos que eles formam uma sequência de dois números compostos (não primos) consecutivos a partir do fatorial de três.

3! possui três fatores, mas só podemos considerar os fatores maiores que 1, por isto só pudemos somar dois e três. Note neste exemplo, que se somássemos 3! + 1, iríamos obter 7, que não é um número composto. Sete é um número primo.

Exemplos de problemas envolvendo fatoriais

Qual deve ser o valor numérico de n para que a equação (n + 2)! = 20 . n! seja verdadeira?

O primeiro passo na resolução deste problema consiste em escrevermos (n + 2)! em função de n!, em busca de uma equação que não mais contenha fatoriais:

Conforme explicado na página onde tratamos sobre o cálculo rápido das raízes de equações do segundo grau, podemos resolver rapidamente esta equação respondendo à seguinte pergunta: Quais são os dois números cuja soma é igual a -3 e cujo produto é igual -18?

Rapidamente concluímos que as raízes procuradas são -6 e 3, mas como não existe fatorial de números negativos, já que eles não pertencem ao conjunto dos números naturais, ficamos apenas com a raiz igual a 3.

Portanto:

O valor numérico de n para que a equação seja verdadeira é igual a 3.

A partir de fatoriais, obtenha uma sequência com sete números compostos consecutivos.

Como eu devo obter 7 números compostos consecutivos na sequência, eu preciso partir ao menos de 8!:

8! = 8 . 7 . 6. 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40320

Como 8! é igual a 40320, o primeiro número da sequência será 40320 + 2 = 40322 e o último será 40320 + 8 = 40328.

Logo:

A sequência 40322, 40323, 40324, 40325, 40326, 40327 e 40328 satisfaz as condições do enunciado.

Tabela com os fatorais de 0 a 27

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800
14	87178291200
15	1307674368000
16	20922789888000
17	355687428096000
18	6402373705728000
19	121645100408832000
20	2432902008176640000
21	51090942171709440000
22	1124000727777607680000
23	25852016738884976640000
24	620448401733239439360000
25	15511210043330985984000000
26	403291461126605635584000000
27	10888869450418352160768000000