Combinação Simples

Uma conceituada escola de idiomas está realizando uma promoção onde você escolhe três cursos, dos cinco disponíveis, e paga apenas ²/₃ do valor da mensalidade de cada um dos cursos escolhidos.

Podemos facilmente perceber que alguém que tenha escolhido os cursos de inglês, espanhol e alemão, fez as mesmas escolhas que outro alguém que tenha escolhido alemão, inglês e espanhol, por exemplo, pois a ordem dos cursos de idioma em si, não gera distinção entre uma escolha e outra.

Se alguém escolheu inglês, espanhol e alemão e outra pessoa escolheu inglês, espanhol e francês, também claramente podemos perceber que se tratam de escolhas distintas, pois nem todos os cursos que uma pessoa escolheu, são os mesmos escolhidos pela outra pessoa.

Neste caso do curso de idiomas, podemos obter o número total de possibilidades, calculando inicialmente oarranjo simples A_5, 3:

Só que fazendo assim, estamos considerando distintos, os agrupamentos ( inglês, espanhol, alemão ) de ( espanhol, inglês, alemão ), por exemplo, e de todas as suas permutações.

Como sabemos, a permutação de 3 elementos, P₃ é igual a 3!, que é igual a 6, portanto se dividirmos 60 por 6, estaremos eliminando as ocorrências duplicadas em função da mera mudança de ordem dos elementos. Assim sendo, 60 : 6 = 10.

Portanto o número de opções possíveis é igual a 10.

Este exemplo é o típico caso, onde agrupamentos com elementos distintos, não se alteram mudando-se apenas a ordem de posicionamento dos elementos no grupo. A diferenciação ocorre apenas, quanto à natureza dos elementos, quando há mudança de elementos. Neste caso estamos tratando de combinação simples.

Ao trabalharmos com combinações simples, com n elementos distintos, agrupados p a p, com p ≤ n, podemos recorrer à seguinte fórmula:

Ao utilizarmos a fórmula neste nosso exemplo, temos:

Como a ordem das bolas não causa distinção entre os agrupamentos, este é um caso de combinação simples. Vamos então calcular C_12, 4:

Portanto:

Os sorvetes de umbu com siriguela e de siriguela com umbu, na verdade tratam-se de um mesmo tipo de sorvete, não havendo distinção apenas pela ordem da escolha das frutas utilizadas. Temos um caso de combinação simples que será resolvido através do cálculo de C_7, 2:

Logo:

Identificamos neste exemplo um caso de combinação simples, pois a ordem das crianças é irrelevante, não causando distinção entre os agrupamentos com elementos distintos. Vamos calcular C_14, 5:

Então: